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Nach dem Strahlensatz gilt:. Ein Rechteck , dessen Seitenverhältnis dem Goldenen Schnitt entspricht, wird als Goldenes Rechteck benannt und ebenso ein gleichschenkliges Dreieck , bei dem zwei Seiten in diesem Verhältnis stehen, als Goldenes Dreieck.

Durch wiederholte Drehung um den Goldenen Winkel entstehen immer wieder neue Positionen, etwa für die Blattansätze im Bild.

Wie bei jeder irrationalen Zahl werden dabei nie exakte Überdeckungen entstehen. Die Goldene Spirale ist ein Sonderfall der logarithmischen Spirale.

Diese Spirale lässt sich mittels rekursiver Teilung eines Goldenen Rechtecks in je ein Quadrat und ein weiteres, kleineres Goldenes Rechteck konstruieren siehe nebenstehendes Bild.

Sie wird oft durch eine Folge von Viertelkreisen approximiert. Die Goldene Spirale ist unter den logarithmischen Spiralen durch die folgende Eigenschaft ausgezeichnet.

Die jeweils nächste Zahl in dieser Folge wird als Summe der beiden vorangehenden erhalten. Diese Argumentation gilt auch für verallgemeinerte Fibonacci-Folgen mit zwei beliebigen Anfangsgliedern.

Die Goldene Zahl lässt sich direkt aus der Forderung nach möglichst schlechter Approximierbarkeit durch rationale Zahlen konstruieren.

Dies gilt ganz allgemein:. Im obigen Kettenbruch erscheint vor jedem Pluszeichen eine ganze Zahl. In Umkehrung dieser Argumentation folgt nun, dass die Approximation besonders schlecht ist, wenn die Zahl vor dem Pluszeichen besonders klein ist.

Bricht ihre Kettenbruchentwicklung an irgendeiner Stelle ab, so wird stets ein Bruch aus zwei aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen erhalten.

Eine weitere kuriose Bezeichnung ist die folgende: Die aufsteigende, wie die absteigende Folge ist jeweils rekursiv definiert. Für die aufsteigende Folge gilt: Für die absteigende Folge gilt: Analytisch ist damit die stetige Teilung als Verallgemeinerung des Goldenen Schnittes ein Beispiel von Selbstähnlichkeit: Wird wiederum die entstandenen Längen der Strecken als reelle Zahlen interpretiert, so gilt: Diese Aussage ist analytisch wiederum identisch zu der absteigenden geometrischen Folge des vorangegangenen Abschnittes.

Für die Verlängerung einer gegebenen Strecke gilt demzufolge die gleiche Aussage, sie führt zur aufsteigenden geometrischen Folge. Aus dieser Aussage heraus gilt aber auch: Ein Goldenes Rechteck lässt sich daher stets in ein kleineres Goldenes Rechteck und ein Quadrat zerlegen.

Diese Verallgemeinerung ist wiederum Grundlage für die Konstruktion der unendlichen Goldenen Spirale, wie oben beschrieben.

Der Begriff Goldener Schnitt wurde erst ab der ersten Hälfte des Jahrhunderts populär, obwohl die mathematischen Prinzipien schon seit der Antike bekannt waren.

Als historisch gesichert kann heute gelten, dass der Goldene Schnitt bereits vor Euklid bekannt war. Umstritten ist, ob die Entdeckung auf Hippasos von Metapont spätes 6.

In seinem Rechenbuch Liber abbaci nicht erhaltene Erstfassung , erhaltene 2. Eine weitere Beschäftigung mit dieser Folge findet sich bei ihm nicht, d.

Jahrhunderts Euklids Theorem II. Und daran magst du erkennen, dass man sich nicht mit Ersetzungen abzumühen braucht, um zu zeigen, dass es unmöglich ist, die Zahl so zu teilen, wie es hier Theorem 11 vorführt.

Sein gleichnamiges Werk De divina proportione von besteht aus drei unabhängigen Büchern. Bei dem ersten handelt es sich um eine rein mathematische Abhandlung, die jedoch keinerlei Bezug zur Kunst und Architektur herstellt.

Das zweite ist ein kurzer Traktat über die Schriften des Römers Vitruv aus dem 1. Darüber hinaus würde diese Abweichung bei einem konstruktiven Verfahren nicht zu erwarten sein.

Im Oktober stellte Johannes Kepler in einem Brief an seinen früheren Tübinger Professor Michael Maestlin die Frage, warum es nur eine einzige mögliche Lösung gebe für die Aufgabe, ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren, bei dem das Verhältnis der kürzeren zur längeren Seite dem der längeren zur Hypotenuse entspricht.

Auf das Original dieses Briefes notierte Maestlin eine Berechnung, die die Hypotenuse einmal mit 10 und einmal mit Das entspricht einer bis auf die sechste Nachkommastelle genauen und bis zur fünften korrekten Angabe des Goldenen Schnittes und ist nach den älteren sexagesimalen Berechnungen der Antike die erste bekannte dezimale Angabe dieser Art.

In Abhandlungen verschiedener Autoren im Zeising war überdies von der Existenz eines Naturgesetzes der Ästhetik überzeugt, dessen Basis der Goldene Schnitt sein müsse.

Er suchte und fand den Goldenen Schnitt überall. Seine Schriften verbreiteten sich rasch und begründeten eine wahre Euphorie bezüglich des Goldenen Schnittes.

Andererseits zeigt eine Untersuchung der Literatur, dass vor Zeising niemand in den Werken der Antike oder Renaissance den Goldenen Schnitt zu erkennen glaubte.

Entsprechende Funde sind daher heute unter Kunsthistorikern eher umstritten, wie Neveux nachwies. Gustav Theodor Fechner , ein Begründer der experimentellen Psychologie , stellte bei Untersuchungen mit Versuchspersonen anhand von Rechtecken in der Tat eine Präferenz für den Goldenen Schnitt fest.

Neuzeitliche Untersuchungen zeigen, dass das Ergebnis solcher Experimente stark vom Kontext der Darbietung abhängt.

Fechner fand ferner bei Vermessungen von Bildern in verschiedenen Museen Europas, dass die Seitenverhältnisse im Hochformat im Mittel etwa 4: Jahrhunderts suchte die Kunsthistorikerin Marguerite Neveux mit röntgenanalytischen Verfahren unter der Farbe von Originalgemälden, die angeblich den Goldenen Schnitt enthalten würden, vergeblich nach entsprechenden Markierungen oder Konstruktionsspuren.

Die daraus entstehenden Strukturen werden auch als selbstähnlich bezeichnet: Auf diese Weise findet sich ein Muster einer tieferen Strukturebene in höheren Ebenen wieder.

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Ist dies nicht erfüllt, so spricht man von einem infiniten Regress in der Informatik auch als Endlosschleife bezeichnet. Unter anderem können auch Punktmengen rekursiv definiert werden dies ergibt die sogenannten Fraktale.

Deren graphische Darstellung liefert ästhetisch ansprechende, natürlich aussehende Gebilde. Ein Beispiel ist der Pythagoras-Baum. Der Algorithmus wird dann bis zu einer vorgegebenen Rekursionstiefe entfaltet.

Bei Rekursionstiefe eins entsteht ein Dreieck mit je einem Quadrat über den drei Seiten. Das sieht wie die Illustration zum Satz des Pythagoras aus — daher der Name.

Je höher die Rekursionstiefe, desto mehr ähnelt das Gebilde einem Baum. Die Grammatik natürlicher Sprachen wird in der Linguistik u.

Dies ergibt sich, weil in der Zerlegung einer grammatischen Einheit, die mit einer Kategorie etikettiert wird, dieselbe Kategorie erneut auftauchen kann.

Ein Beispiel ist das Phänomen der Nebensätze , das hier mit folgender stark vereinfachter Produktionsregel beschrieben ist:. Für den Fall, dass die Schritte 1 und dann 3 aufgerufen werden, ergibt sich eine Rekursion: Gleichwertig zu dieser Darstellung ist das Verfahren, eine rekursive Definition der Summenfunktion zu geben.

Hierzu bestimmen wir zunächst den einfachen Fall, den Rekursionsanfang. Dieser einfachere Fall wird unser rekursiver Aufruf.

Diese beiden Gleichungen lassen sich zu einer rekursiven Definition der Summenfunktion zusammenfassen:. Es handelt sich hierbei um eine lineare Rekursion, denn in jedem der beiden Fälle Rekursionsanfang und Rekursionsschritt gibt es höchstens einen sum-Aufruf.

Es ist sogar eine primitive Rekursion. Es gibt auch eine Charakterisierung der Summenfunktion ohne Rekursion: Ein anderes klassisches Beispiel für eine rekursive Funktion ist die Fibonacci-Folge.

Diese rekursive Definition ist kaskadenförmig. Das deutet an, dass es Potential für Optimierungen gibt. Auch für die Fibonacci-Funktion gibt es einen gleichwertigen geschlossenen Ausdruck.

Rekursionsverfahren und rekursive Definitionen sind nicht auf Funktionen natürlicher Zahlen beschränkt. Hier sei auf das verallgemeinerte Rekursionsschema verwiesen.

Das Grundprinzip der rekursiven Definition einer Funktion f ist: Bei einer rekursiven Definition einer Funktion f ruft sich die Funktion so oft selbst auf, bis eine durch den Aufruf der Funktion veränderte Variable einen vorgegebenen Zielwert erreicht oder Grenzwert überschritten hat Terminierung, Abbruchbedingung.

Die Definition von rekursiv festgelegten Funktionen ist eine grundsätzliche Vorgehensweise in der funktionalen Programmierung.

Ausgehend von einigen gegebenen Funktionen wie z. Mit diesen können weitere Funktionen definiert werden. Ein Spezialfall der Rekursion ist die primitive Rekursion , die stets durch eine Iteration ersetzt werden kann.

Umgekehrt kann jede Iteration durch eine primitive Rekursion ersetzt werden, ohne dass sich dabei die Komplexität des Algorithmus ändert. Die häufigste Rekursionsform ist die lineare Rekursion , bei der in jedem Fall der rekursiven Definition höchstens ein rekursiver Aufruf vorkommen darf.

Die Berechnung verläuft dann entlang einer Kette von Aufrufen. Die primitive Rekursion ist ein Spezialfall der linearen Rekursion.

Hier definiert man Funktionen auf den natürlichen Zahlen, wobei in jedem rekursiven Aufruf dessen erster Parameter um Eins ab- oder zunimmt.

Jede primitiv-rekursive Definition kann unter Zuhilfenahme eines Stapels durch eine Schleife Programmierung z. For-Schleife oder While-Schleife ersetzt werden.

Die endständige oder repetitive Rekursion Tail Recursion oder Endrekursion bezeichnet den Spezialfall der linearen Rekursion, bei der jeder rekursive Aufruf die letzte Aktion des rekursiven Aufrufs ist.

Endrekursionen lassen sich unmittelbar durch While-Schleifen ersetzen und umgekehrt. Das zweite ist ein kurzer Traktat über die Schriften des Römers Vitruv aus dem 1.

Darüber hinaus würde diese Abweichung bei einem konstruktiven Verfahren nicht zu erwarten sein. Im Oktober stellte Johannes Kepler in einem Brief an seinen früheren Tübinger Professor Michael Maestlin die Frage, warum es nur eine einzige mögliche Lösung gebe für die Aufgabe, ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren, bei dem das Verhältnis der kürzeren zur längeren Seite dem der längeren zur Hypotenuse entspricht.

Auf das Original dieses Briefes notierte Maestlin eine Berechnung, die die Hypotenuse einmal mit 10 und einmal mit Das entspricht einer bis auf die sechste Nachkommastelle genauen und bis zur fünften korrekten Angabe des Goldenen Schnittes und ist nach den älteren sexagesimalen Berechnungen der Antike die erste bekannte dezimale Angabe dieser Art.

In Abhandlungen verschiedener Autoren im Zeising war überdies von der Existenz eines Naturgesetzes der Ästhetik überzeugt, dessen Basis der Goldene Schnitt sein müsse.

Er suchte und fand den Goldenen Schnitt überall. Seine Schriften verbreiteten sich rasch und begründeten eine wahre Euphorie bezüglich des Goldenen Schnittes.

Andererseits zeigt eine Untersuchung der Literatur, dass vor Zeising niemand in den Werken der Antike oder Renaissance den Goldenen Schnitt zu erkennen glaubte.

Entsprechende Funde sind daher heute unter Kunsthistorikern eher umstritten, wie Neveux nachwies. Gustav Theodor Fechner , ein Begründer der experimentellen Psychologie , stellte bei Untersuchungen mit Versuchspersonen anhand von Rechtecken in der Tat eine Präferenz für den Goldenen Schnitt fest.

Neuzeitliche Untersuchungen zeigen, dass das Ergebnis solcher Experimente stark vom Kontext der Darbietung abhängt.

Fechner fand ferner bei Vermessungen von Bildern in verschiedenen Museen Europas, dass die Seitenverhältnisse im Hochformat im Mittel etwa 4: Jahrhunderts suchte die Kunsthistorikerin Marguerite Neveux mit röntgenanalytischen Verfahren unter der Farbe von Originalgemälden, die angeblich den Goldenen Schnitt enthalten würden, vergeblich nach entsprechenden Markierungen oder Konstruktionsspuren.

Die daraus entstehenden Strukturen werden auch als selbstähnlich bezeichnet: Auf diese Weise findet sich ein Muster einer tieferen Strukturebene in höheren Ebenen wieder.

Ursache ist das Bestreben dieser Pflanzen, ihre Blätter auf Abstand zu halten. Es wird vermutet, dass sie dazu an jedem Blattansatz einen besonderen Wachstumshemmer Inhibitor erzeugen, der im Pflanzenstamm — vor allem nach oben, in geringerem Umfang aber auch in seitlicher Richtung — diffundiert.

Dabei bilden sich in verschiedene Richtungen bestimmte Konzentrationsgefälle aus. Das nächste Blatt entwickelt sich an einer Stelle des Umfangs, wo die Konzentration minimal ist.

Dabei stellt sich ein bestimmter Winkel zum Vorgänger ein. Der Beitrag dieses Blattes zur Konzentration des Inhibitors ist aber an dieser Stelle gerade maximal.

Daher stellt sich ein Winkel mit einem Verhältnis ein, das alle rationalen Zahlen meidet. Die Zahl ist nun aber gerade die Goldene Zahl siehe oben.

Da bisher kein solcher Inhibitor isoliert werden konnte, werden auch andere Hypothesen diskutiert, wie die Steuerung dieser Vorgänge in analoger Weise durch Konzentrationsverteilungen von Nährstoffen.

Der Nutzen für die Pflanze könnte darin bestehen, dass auf diese Weise von oben einfallendes Sonnenlicht bzw.

Die Wurzeln von Pflanzen weisen den Goldenen Winkel weniger deutlich auf. Bei anderen Pflanzen wiederum treten Blattspiralen mit anderen Stellungswinkeln zutage.

In Computersimulationen des Pflanzenwachstums lassen sich diese verschiedenen Verhaltensweisen durch geeignete Wahl der Diffusionskoeffizienten des Inhibitors provozieren.

Bei vielen nach dem Goldenen Schnitt organisierten Pflanzen bilden sich in diesem Zusammenhang so genannte Fibonacci-Spiralen aus. Spiralen dieser Art sind besonders gut zu erkennen, wenn der Blattabstand im Vergleich zum Umfang der Pflanzenachse besonders klein ist.

Daher sind in beide Richtungen Spiralen zu aufeinander folgenden Fibonaccizahlen zu sehen. Der Drehsinn der beiden Spiralentypen ist dem Zufall überlassen, sodass beide Möglichkeiten gleich häufig auftreten.

Besonders beeindruckend sind Fibonacci-Spiralen die damit wiederum dem Goldenen Schnitt zugeordnet sind in Blütenständen, wie bei Sonnenblumen.

Wachstumstechnisch aufeinander folgende Früchte liegen daher räumlich weit auseinander, während direkte Nachbarn wieder einen Abstand entsprechend einer Fibonacci-Zahl haben.

Das betrifft ebenso Seesterne und andere Tiere mit fünfzähliger Symmetrie. Darüber hinaus wird der Goldene Schnitt auch im Verhältnis der Längen aufeinander folgender Stängelabschnitte mancher Pflanzen vermutet wie bei der Pappel.

Diese Beispiele sind jedoch umstritten. Jahrhundert war die Ansicht weit verbreitet, dass der Goldene Schnitt ein göttliches Naturgesetz sei und in vielfacher Weise auch in den Proportionen des menschlichen Körpers realisiert wäre.

Oft enthält auch die Definition, wie die Länge eines Körperteils exakt zu bestimmen sei, eine gewisse Portion Willkür.

Ferner fehlt dieser These bis heute eine wissenschaftliche Grundlage. Seit langem ist bekannt, dass die Umlaufzeiten mancher Planeten und Monde in Verhältnis kleiner ganzer Zahlen stehen wie Jupiter und Saturn mit 2: Derartige Bahnresonanzen stabilisieren die Bahnen der Himmelskörper langfristig gegen kleinere Störungen.

Erst wurde entdeckt, dass auch hinreichend irrationale Verhältnisse, wie sie im Fall 1: Arnold und Jürgen Moser stehen.

Bei rotierenden Schwarzen Löchern findet ab einem kritischen Drehimpuls ein Umschlag von negativer zu positiver Wärmekapazität statt, wobei dieser Tipping-Point von der Masse des Schwarzen Loches abhängt.

Der Goldene Schnitt tritt auch bei den Quasikristallen der Festkörperphysik in Erscheinung, die von Dan Shechtman und seinen Kollegen entdeckt wurden.

Diese Quasikristalle bestehen strukturell aus zwei verschiedenen rhomboedrischen Grundbausteinen, mit denen der Raum zwar lückenlos, jedoch ohne globale Periodizität gefüllt werden kann Penrose-Parkettierung.

Beide Rhomboeder setzten sich aus den gleichen rautenförmigen Seitenflächen zusammen, die jedoch unterschiedlich orientiert sind.

Die Form dieser Rauten lässt sich nun dadurch definieren, dass ihre Diagonalen im Verhältnis des Goldenen Schnittes stehen.

Eine solche Gestaltung wird auch weiterhin in Teilen der Fachliteratur zum Buchdruck empfohlen. Die Schriften des griechischen Geschichtsschreibers Herodot zur Cheops-Pyramide werden gelegentlich dahingehend ausgelegt, dass die Höhe der Seitenfläche zur Hälfte der Basiskante im Verhältnis des Goldenen Schnittes stünde.

Andererseits wird auch die These vertreten, dass das Verhältnis 2: Viele Werke der griechischen Antike werden als Beispiele für die Verwendung des Goldenen Schnittes angesehen wie die Vorderfront des — v.

Auch in diesen Fällen ist die bewusste Anwendung des Goldenen Schnittes anhand der historischen Quellen nicht nachweisbar.

Ebenso fehlen historische Belege für eine absichtliche Verwendung des Goldenen Schnittes. Gleichwohl gibt es bei genauer historischer Quellenforschung keinen Beleg dafür.

Insbesondere gibt es keinen Beleg dafür, dass Hieronymus Lotter als der damalige Baumeister den Goldenen Schnitt bewusst als Konstruktionsprinzip verwendet hat: Alle originären Quellen verweisen lediglich auf einen gotischen Vorgängerbau, auf dessen Grundmauern Lotter das Rathaus errichtet hat.

Dass der Goldene Schnitt hier eine Rolle gespielt habe, ist quellenhistorisch nicht belegbar. Die erste quellenhistorisch gesicherte Verwendung des Goldenen Schnittes in der Architektur stammt aus dem Er veröffentlichte dieses in seiner Schrift Der Modulor , die zu den bedeutendsten Schriften der Architekturgeschichte und -theorie gezählt wird.

Bereits wurde ihm für die Anwendung mathematischer Ordnungsprinzipien von der Universität Zürich der Titel doctor honoris causa der mathematischen Wissenschaften verliehen.

Inwieweit die Verwendung des Goldenen Schnittes in der Kunst zu besonders ästhetischen Ergebnissen führt, ist letztlich eine Frage der jeweils herrschenden Kunstauffassung.

Für die generelle These, dass diese Proportion als besonders ansprechend und harmonisch empfunden wird, gibt es keine gesicherten Belege.

Viele Künstler setzten den Goldenen Schnitt bewusst ein, bei vielen Werken wurden Kunsthistoriker erst im Nachhinein fündig. Diese Befunde sind jedoch angesichts der Fülle von möglichen Strukturen, wie sie in einem reich strukturierten Gemälde zu finden sind, oft umstritten.

Auch in der Fotografie wird der Goldene Schnitt zur Bildgestaltung eingesetzt. Als Faustformel wird die Drittel-Regel verwendet. In der zeitgenössischen bildenden Kunst wird der Goldene Schnitt nicht nur als Gestaltungsmerkmal verwendet, sondern ist in manchen Arbeiten selbst Thema oder zentraler Bildinhalt.

Der Künstler Jo Niemeyer verwendet den Goldenen Schnitt als grundlegendes Gestaltungsprinzip in seinen Werken, die der konkreten Kunst zugeordnet werden.

In der Musik werden Töne als konsonant empfunden, wenn das Verhältnis ihrer Schwingungsfrequenzen ein Bruch aus kleinen ganzen Zahlen ist.

Dass eine Annäherung dieses Verhältnisses zum Goldenen Schnitt hin nicht unbedingt zu einem wohlklingenden Intervall führt, lässt sich daran erkennen, dass unter den Tonintervallen, deren Schwingungsverhältnis aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen entspricht, höchstens die Quinte mit einem Schwingungsverhältnis von 3: Der Goldene Schnitt wird gelegentlich auch in Strukturkonzepten von Musikstücken vermutet.

Allerdings sind seine Berechnungen umstritten. Der Goldene Schnitt wird gelegentlich im Musikinstrumentenbau verwendet.

Insbesondere beim Geigenbau soll er für besonders klangschöne Instrumente bürgen. So wird auch behauptet, dass der berühmte Geigenbauer Stradivari den Goldenen Schnitt verwendete, um die klanglich optimale Position der F-Löcher für seine Violinen zu berechnen.

Diese Behauptungen basieren jedoch lediglich auf nachträglichen numerischen Analysen von Stradivaris Instrumenten. Ein Nachweis, dass Stradivari bewusst den Goldenen Schnitt zur Bestimmung ihrer Proportionen angewandt habe, existiert jedoch nicht.

In der Informatik werden Daten in Hashtabellen gespeichert, um darauf schnell zuzugreifen.

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